Al-Khwarizmi

In breve

Intorno all’820, a Baghdad, il matematico e astronomo Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi compose l’Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala («Il libro conciso del calcolo per restaurazione e bilanciamento»), che presentò per la prima volta la soluzione delle equazioni come un metodo generale e sistematico, non come una raccolta di problemi risolti uno per uno. Lavorava nella Casa della Sapienza, l’istituzione di corte del califfo al-Ma’mun dove si traducevano opere greche e indiane. Scrisse anche un trattato sul calcolo con i numeri indiani, oggi perduto in arabo e noto solo da una traduzione latina del XII secolo. Da quella traduzione, e dal suo nome latinizzato Algoritmi, deriva la parola «algoritmo»; dal titolo del trattato di equazioni, tradotto in latino nel 1145, deriva «algebra». Nessuna delle due cose nacque dal nulla: al-Khwarizmi lavorava su un’eredità greca e indiana già consistente, e la sua novità sta nel metodo, non nei singoli risultati.

Contesto

Baghdad, fondata nel 762, era negli anni Venti dell’IX secolo la capitale di un califfato esteso dall’Atlantico ai confini dell’India, e il califfo al-Ma’mun ne aveva fatto un centro di mecenatismo intellettuale: nella biblioteca di corte nota come Bayt al-Hikma, la Casa della Sapienza, si traducevano in arabo opere greche - Euclide, Aristotele, in parte Diofanto - insieme a testi persiani e indiani. Un’altra voce di questo atlante, su Baghdad, racconta quel movimento e quanto sia discusso il suo grado di istituzionalizzazione.

La matematica su cui al-Khwarizmi lavorava non era vuota. Dalla Grecia veniva la geometria di Euclide, con le sue dimostrazioni rigorose, e l’opera di Diofanto di Alessandria, che nel III secolo aveva risolto equazioni con metodi ingegnosi ma caso per caso, senza procedimento generale né giustificazione geometrica. Dall’India veniva un sistema di numerazione decimale posizionale con un simbolo per lo zero, assai più maneggevole dell’aritmetica greca o romana, e una tradizione - di cui l’astronomo Aryabhata è il nome che questo atlante registra - già capace di risolvere equazioni di secondo grado con regole pratiche. Al-Khwarizmi non inventò né il sistema decimale né lo zero: li mise a sistema in arabo e li insegnò.

Il bisogno pratico contava quanto quello teorico. Il diritto islamico sull’eredità, la fara’id, richiedeva calcoli di frazioni complesse per dividere un patrimonio fra eredi con quote fissate dalla legge religiosa; l’amministrazione fiscale di un impero enorme e l’agrimensura richiedevano calcolo rapido e affidabile. Un metodo generale per risolvere problemi numerici non era un esercizio accademico, era uno strumento di governo.

Svolgimento

Di al-Khwarizmi si sa poco come persona. Il nome indica un’origine, sua o della famiglia, nella regione di Khwarizm, l’oasi intorno al basso corso dell’Amu Darya, oggi in Uzbekistan; se sia nato lì o a Baghdad non è chiaro. Le fonti lo collocano attivo alla corte di al-Ma’mun a partire dagli anni Venti dell’IX secolo, con un ruolo legato alla Casa della Sapienza, forse come astronomo e responsabile della sua biblioteca; morì probabilmente intorno all’850.

Il suo trattato più influente, l’Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wal-muqabala, era dedicato ad al-Ma’mun e composto - la data non è documentata con precisione, e l’820 usato in questa scheda è una convenzione che indica un momento del regno di al-Ma’mun, non un giorno preciso - per insegnare «ciò che gli uomini hanno costantemente bisogno» nell’eredità, nei contratti, nell’agrimensura e nel commercio. Il metodo poggiava su due operazioni che danno il nome al libro: al-jabr, la «restaurazione», spostare un termine sottratto da un lato all’altro dell’equazione facendolo diventare positivo; e al-muqabala, il «bilanciamento», cancellare termini uguali su entrambi i lati. Applicandole sistematicamente, al-Khwarizmi riduceva ogni equazione lineare o quadratica a una di sei forme canoniche - fra queste, «radici e quadrati uguali a un numero» - e per ciascuna forniva una regola di soluzione generale, con una dimostrazione geometrica in stile euclideo. Il testo era in prosa: non esisteva ancora notazione simbolica, e «il quadrato più dieci radici» si scriveva così, parola per parola. La seconda parte applicava il metodo a decine di problemi di eredità islamica: l’algebra non era un gioco astratto, ma uno strumento per un problema reale e diffuso.

Al-Khwarizmi scrisse anche un trattato di aritmetica sul calcolo con i numeri indiani, il Kitab al-jam’ wal-tafriq bi hisab al-Hind, che spiegava il sistema posizionale decimale, lo zero e le operazioni di base con quelle nove cifre. Il testo arabo è perduto: lo conosciamo solo attraverso una rielaborazione latina del XII secolo, il cui incipit - «Dixit Algorizmi», «così ha detto al-Khwarizmi» - è il nome convenzionale con cui gli storici la citano. Compose inoltre tavole astronomiche di ispirazione indiana, lo Zij al-Sindhind, e un trattato di geografia, il Kitab surat al-ard, che correggeva in vari punti le coordinate di Tolomeo per oltre duemila località.

Conseguenze

Nel breve periodo, il metodo entrò nell’uso amministrativo e didattico di Baghdad, pensato per essere applicato e non solo studiato. Fra i matematici arabi successivi - Abu Kamil pochi decenni dopo, più tardi Omar Khayyam, che estese il metodo alle equazioni di terzo grado - l’algebra proseguì come campo autonomo, con una propria tradizione di problemi e dimostrazioni.

Nel lungo periodo, l’opera arrivò in Europa attraverso la Spagna islamica. Nel 1145 Roberto di Chester ne fece una traduzione latina, il Liber algebrae et almucabola: da quel titolo, e dalla sua forma latina algebra, la parola è passata a tutte le lingue europee, mentre «almucabola» - il bilanciamento - è caduto in disuso. Il trattato, insieme a un’altra traduzione di Gherardo da Cremona, divenne testo di riferimento nelle università europee per secoli, e resta - insieme alla ripresa che ne farà Fibonacci nel Liber Abaci del 1202 - una delle vie per cui numeri indo-arabi e algebra raggiunsero l’Europa, un percorso che un’altra voce di questo atlante, sull’università medievale, racconta dal lato della ricezione. La parola «algoritmo» ha una storia parallela e più tarda: nacque come nome proprio latinizzato, Algoritmi, applicato al calcolo con le cifre indiane; solo nei secoli successivi, per convergenza col greco arithmos (numero), si allargò a qualunque procedimento passo per passo, fino al significato che ha oggi in informatica.

Nel frattempo altrove

• 499 d.C.Aryabhata — Asia meridionale
• 800 d.C.Carlo Magno — Europa
• 800 d.C.Le città swahili — Africa
• 800 d.C.L'oro transahariano — Africa
• 850 d.C.La polvere da sparo — Asia orientale
• 900 d.C.Il collasso maya del sud — Americhe
• 900 d.C.Rapa Nui — Oceania

Come lo sappiamo

Il trattato di algebra ci è arrivato in diversi manoscritti arabi, oltre che nelle traduzioni latine medievali; l’edizione critica con traduzione a fronte curata da Roshdi Rashed nel 2007 è oggi il riferimento filologico. Il trattato di aritmetica sui numeri indiani, invece, non sopravvive in nessun manoscritto arabo: lo conosciamo solo attraverso rielaborazioni latine del XII secolo, e non sappiamo con certezza quanto riproducano fedelmente il testo originale e quanto siano state modificate dai traduttori - una circostanza che rende fragile ogni affermazione troppo precisa su cosa, esattamente, avesse scritto.

Sulla biografia resta poco di solido: nascita e morte sono stime approssimative, l’origine familiare da Khwarizm è dedotta dal nome (una nisba, un aggettivo di provenienza, non una prova di nascita), e persino la sua appartenenza religiosa - musulmano di nascita o convertito da una famiglia zoroastriana, come lascerebbero pensare alcuni manoscritti che lo chiamano «al-Majusi» - è discussa senza soluzione.

Il punto più dibattuto, ed è la ragione per cui questa scheda insiste sul metodo più che sui risultati, riguarda l’originalità. Una lettura circolata a lungo presenta al-Khwarizmi come debitore diretto di Diofanto: va presa con cautela, perché l’Aritmetica di Diofanto fu tradotta in arabo solo dopo di lui, da Qusta ibn Luqa nella seconda metà del IX secolo, il che rende improbabile un debito testuale diretto. Jens Høyrup ha proposto invece che le sue dimostrazioni geometriche appartengano a una tradizione di «geometria ingenua» delle aree con radici nella matematica babilonese, condivisa - senza dipendenza lineare dimostrabile - con un trattato simile scritto quasi nello stesso periodo da un altro matematico di Baghdad, Abd al-Hamid ibn Turk: chi dei due lavorò prima resta una questione aperta. Ciò su cui gli storici non discutono è cosa manchi ai suoi predecessori: né la matematica babilonese, né quella indiana, né Diofanto avevano presentato la soluzione delle equazioni come metodo esplicito, classificato in un numero finito di casi e pensato come un campo del sapere a sé, invece che una tecnica dentro un altro libro. È in quello scarto che l’algebra come disciplina può dirsi nata con lui.

Approfondimenti

• Roshdi Rashed, Al-Khwārizmī. Le commencement de l’algèbre (2007) — l’edizione critica araba-francese con il commento più aggiornato sul testo e sulla sua trasmissione.
• Frederic Rosen (traduzione), The Algebra of Mohammed Ben Musa (1831) — la prima traduzione europea moderna, di pubblico dominio: dà il testo per intero a chi vuole leggerlo senza intermediari.
• J. L. Berggren, Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (2003) — un’introduzione tecnica ma accessibile a tutta la matematica islamica medievale, non solo ad al-Khwarizmi.
• Jens Høyrup, Al-Khwârizmî, Ibn Turk, and the Liber Mensurationum (1986) — la tesi sulla radice babilonese delle dimostrazioni geometriche, utile per capire di cosa discutono gli specialisti sull’originalità.
• André Allard, Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi: Le calcul indien (algorismus) (1992) — l’edizione critica delle rielaborazioni latine del trattato aritmetico perduto in arabo.