Aryabhata

In breve

Nel 499 un autore di ventitré anni completò a Kusumapura, l’odierna Patna, un trattato in versi sanscriti di appena centoventuno strofe: l’Aryabhatiya. In quelle poche pagine c’erano un valore di pi greco accurato a quattro decimali, la prima tavola di seni della storia, un metodo generale per risolvere equazioni indeterminate, e l’affermazione che la Terra ruota su se stessa mentre la sfera delle stelle stava ferma. Il testo usava un sistema numerico posizionale, quello che attraverso il mondo islamico diventerà universale. Fu il documento più denso di questa era, e stava in un opuscolo.

Contesto

L’astronomia matematica indiana aveva alle spalle una tradizione lunga. I Vedanga Jyotisha, dell’ultimo millennio a.C., servivano a fissare il calendario rituale. Nei primi secoli dell’era volgare arrivarono in India, attraverso il contatto con il mondo ellenistico, elementi dell’astronomia greca: modelli geometrici, epicicli, e la trigonometria delle corde. Testi come il Paulisha e il Romaka siddhanta ne portavano il segno persino nel nome.

Su quella base l’astronomia indiana sviluppò qualcosa di proprio. Dove i Greci calcolavano con le corde — la corda sottesa da un arco — gli indiani passarono alla semicorda, che è la funzione seno: una scelta che semplificava enormemente i calcoli e che, attraverso la traduzione araba della parola sanscrita jya, ci diede la parola «seno».

Il contesto istituzionale era quello descritto nella voce sull’età Gupta: corti che patrocinavano il sapere, monasteri e templi che conservavano manoscritti, e centri di studio, fra cui Ujjain, dove l’osservazione astronomica aveva continuità. E c’era un motore pratico: calendario, previsione delle eclissi e astrologia, che nell’India antica non era distinta dall’astronomia ed era la ragione per cui i sovrani pagavano gli astronomi.

Svolgimento

L’Aryabhatiya era organizzato in quattro parti, e la forma contava: era scritto in versi mnemonici, densissimi, destinati a essere imparati a memoria e spiegati da un maestro. Molti passaggi erano incomprensibili senza commento, e i commentari — a partire da quello di Bhaskara I nel VII secolo — erano parte integrante della tradizione.

Il primo capitolo, Gitikapada, esponeva i parametri astronomici e introduceva il sistema di notazione alfanumerica dell’autore, che permetteva di comprimere numeri enormi in poche sillabe.

Il Ganitapada, sulla matematica, conteneva i risultati più citati. Il valore di pi greco: «aggiungi quattro a cento, moltiplica per otto, aggiungi sessantaduemila; il risultato è approssimativamente la circonferenza di un cerchio di diametro ventimila». Il calcolo dava 62832/20000 = 3,1416, corretto a quattro decimali. Aryabhata aggiunse una parola che gli storici della matematica discussero molto: asanna, «avvicinandosi», che sembrava indicare la consapevolezza che il valore è irrazionale e non solo approssimato per difetto di misura. Vi erano anche aree e volumi — con un errore sul volume della piramide e della sfera —, progressioni aritmetiche, e il metodo kuttaka, «polverizzatore», per risolvere equazioni lineari indeterminate: una tecnica che equivaleva all’algoritmo euclideo esteso ed era lo strumento fondamentale della successiva teoria dei numeri indiana.

Il Kalakriyapada trattava il computo del tempo e i moti planetari. Il Golapada, sulla sfera celeste, conteneva l’affermazione più celebre: le stelle apparivano muoversi verso occidente perché era la Terra a ruotare verso oriente, e Aryabhata la illustrava con l’immagine di chi, su una barca che scende il fiume, vedeva gli oggetti fermi sulla riva andargli incontro. Spiegava inoltre correttamente le eclissi come effetto di ombre: la Luna entrava nel cono d’ombra della Terra, la Luna proiettava la propria ombra sulla Terra. Nel contesto di una cultura in cui le eclissi erano attribuite a un demone, era un’affermazione di causalità naturale.

La sua tavola dei seni dava i valori a intervalli di 3°45′ come differenze successive, in forma tabulare compatta: era il primo strumento del genere di cui avevamo notizia, e sarà lo strumento di calcolo dell’astronomia per secoli.

Conseguenze

La conseguenza maggiore era la trasmissione. Nell’VIII secolo, a Baghdad, testi astronomici indiani vennero tradotti in arabo; il Sindhind che gli astronomi abbasidi discutevano derivava da questa tradizione. Con quei testi passò il sistema numerico posizionale con lo zero, che al-Khwarizmi descriverà in un’opera nota in Europa attraverso la traduzione latina, e che per questo verrà chiamato «numerazione araba» pur essendo indiana. Era l’esempio più chiaro di come l’attribuzione di un’invenzione seguisse le rotte della trasmissione e non quelle dell’origine.

La seconda conseguenza era interna. L’Aryabhatiya fondò una scuola: Bhaskara I, Brahmagupta — che lo criticava duramente su alcuni punti e per altri lo sviluppava —, e più tardi la scuola del Kerala, che fra il XIV e il XVI secolo arriverà a sviluppi in serie di funzioni trigonometriche che in Europa saranno raggiunti solo con Newton e Leibniz.

La terza conseguenza era metodologica: qui la trigonometria nacque come strumento di calcolo tabulato, non come geometria dimostrativa. Era un modo di fare matematica diverso da quello euclideo, orientato all’algoritmo, e assomigliava più alla matematica applicata moderna che alla tradizione dei teoremi.

Nel frattempo altrove

• 300 d.C.Verso il Pacifico orientale — Oceania
• 400 d.C.Le premesse dell'oro sahariano — Africa
• 476 d.C.Cade l'impero d'Occidente — Europa
• 527 d.C.Giustiniano — Europa
• 538 d.C.Il buddhismo in Giappone — Asia orientale
• 541 d.C.La peste di Giustiniano — Medio Oriente
• 700 d.C.Tiwanaku e Wari — Americhe

Come lo sappiamo

Il testo dell’Aryabhatiya è conservato ed è la fonte diretta. Aryabhata stesso dichiarò nel primo capitolo di avere ventitré anni e diede un riferimento cronologico che collocava l’opera nel 499: era una delle datazioni più solide della storia della scienza antica indiana, cosa non comune in un ambiente dove gli autori raramente si datavano.

La tradizione manoscritta è mediata dai commentari, e questo è insieme una fortuna e un problema. Bhaskara I, nel VII secolo, e Nilakantha, nel XV, ci permettono di capire versi altrimenti oscuri; ma i commentatori interpretano, e distinguere ciò che Aryabhata disse da ciò che i suoi lettori capirono richiede lavoro filologico.

Su tre punti la discussione è viva.

L’irrazionalità di pi greco: se asanna implichi la consapevolezza che il rapporto è incommensurabile, oppure soltanto che il valore dato è approssimato, è oggetto di letture opposte. Chi è prudente osserva che una dimostrazione non c’è, e che il termine da solo non basta.

La rotazione terrestre: il passo del Golapada è chiaro, ma altri passi sembrano assumere una Terra ferma, e alcuni commentatori successivi — Brahmagupta in testa — respinsero l’idea. Se Aryabhata sostenesse la rotazione come tesi fisica o la introducesse come artificio di calcolo è discusso.

L’esistenza di un secondo Aryabhata, autore più tardo di un altro trattato, ha creato confusioni nella letteratura più vecchia: oggi la distinzione è chiara, ma vale sapere che alcuni testi divulgativi la sbagliano ancora.

Un’ultima avvertenza, di quelle che questo atlante preferisce dire. La storia della matematica è stata scritta per lungo tempo come una linea che va dalla Grecia all’Europa, e i contributi indiani sono stati trattati come curiosità o come anticipazioni. Non è un problema di fonti: le fonti ci sono, sono datate e sono state edite. È un problema di quali fonti si è scelto di leggere.

Approfondimenti

• Kim Plofker, Mathematics in India (2009) — la storia di riferimento, prudente sulle attribuzioni e attenta alla tradizione manoscritta.
• Aryabhatiya, traduzione e commento di Shukla e Sarma (1976) — l’edizione che permette di leggere il testo con i commentari a fianco.
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock (2011) — utile per il quadro d’insieme e per la critica della narrazione eurocentrica; su alcuni punti è più entusiasta di quanto le prove consentano, e va letto con la Plofker accanto.